Ora osservate queste onde tratte da un gong, un suono elettronico tipo campana, un piatto di batteria.
Noterete che, a differenza delle prime, in queste onde non è possibile individuare con facilità un ciclo. C'è una notevole differenza con quelle dell'immagine precedente in cui la periodicità è molto evidente.
Ascoltando questi suoni, vi accorgerete subito che, a differenza dei precedenti, non è possibile attribuire loro una nota precisa. I primi due vengono percepiti quasi come un accordo, mentre l'ultimo suggerisce solo vagamente una sensazione di altezza.

Qualcuno, a questo punto, si chiederà se esiste un collegamento fra la periodicità dell'onda e la sensazione di altezza?
Per il momento possiamo solo rispondere: in linea di massima, sì. Ci occuperemo in dettaglio di questo problema quando parleremo di armonici, comunque ne accenniamo perché, secondo i vecchi manuali di acustica, la periodicità dell'onda era una condizione indispensabile perché quel suono avesse una altezza precisa, tanto che questi suoni erano chiamati "suoni musicali", opposti ai cosiddetti "rumori" (suoni non musicali, non periodici, privi di altezza).
Oggi sappiamo che questa distinzione non ha valore perché non è così netta, ma è un continuum: si può passare gradualmente dalla sensazione di altezza precisa a una sensazione di altezza sempre più vaga fino a perderla. Pensate, per es., al soffio in uno strumento a fiato (flauto, clarinetto, sassofono): se si soffia senza produrre una nota e si aprono, via via, le chiavi, il soffio cambia, suggerendo una altezza. Oppure pensate alle campane che spesso sono "quasi note", cioé danno una sensazione di altezza, ma con dentro qualcosa di leggermente stonato. Ancora, ascoltate e guardate nella figura seguente questi due suoni che contengono una certa quantità di rumore. Noterete che la sensazione di altezza è meno precisa nel secondo rispetto al primo, ma c'è. Noterete anche, guardando la figura, che una periodicità esiste, ma non è così precisa.

In definitiva, pur con qualche eccezione, possiamo dire che

• un onda strettamente periodica produce quasi certamente una sensazione di altezza
• via via che la periodicità dell'onda diventa meno stretta, anche la sensazione di altezza è meno precisa

 

L'ottava, quindi, corrisponde a un rapporto di frequenza 2:1. La cosa ha una precisa corrispondenza fisica: dividendo una corda a metà, si ottiene l'8va superiore (corde più corte producono frequenze più alte in base al loro rapporto; la barretta del 12mo tasto della chitarra si trova a metà corda).
Nello stesso modo funzionano le colonne d'aria: se si prende un tubo e lo si suona in stile flauto di pan, si ottiene una nota. Se si taglia a metà il tubo, si ottiene l'8va superiore.
Anche per gli altri intervalli ci sono rapporti fissi. Nella scala pitagorica, direttamente derivata dagli armonici, alla 5a corrisponde il rapporto di 3:2 = 1.5. Ne consegue che, dato un LA 440 Hz, il MI alla 5a sopra avrà una frequenza di 440 × 1.5 = 660.
Ma, un momento; se guardiamo il MI sopra il La 440 nel sistema temperato, vediamo che non è 660, ma 659.26. Il fatto è che, come saprete, la scala costruita sugli armonici conduce direttamente ai semitoni non coincidenti, al DO# diverso dal REb, cosa che il temperamento equabile ha eliminato, con il prezzo di approssimare gli intervalli. La tabella seguente mostra l'approssimazione per alcuni intervalli maggiori

Intervallo	Temp. equabile	Scala Pitagorica	Rapporto Pitagorico
2a	1.1224	1.1250	9/8
3a	1.26	1.25	5/4
4a	1.3348	1.333	4/3
5a	1.4983	1.5	3/2
6a	1.6818	1.6667	5/3

Allora, qual'è il rapporto che equivale a un semitono nel sistema temperato? Bene, si tratta di dividere il rapporto 2:1 (l'ottava) in 12 parti uguali, ognuna corrispondente a un semitono. Il risultato è

= 1.0594631 (approssimato)

Al di là dei numeri (che non dovete sapere a memoria), qual'è l'importanza di tutto ciò?

per la percezione sono importanti i rapporti di frequenza

Ovvero, noi percepiamo sempre lo stesso intervallo quando il rapporto fra le frequenze è costante. Partendo da un LA 110 Hz, per percepire un intervallo di 8va dobbiamo raddoppiarlo andando a 220 Hz, poi a 440 Hz, a 880 Hz e così via. Per ottenere la 5a superiore dobbiamo moltiplicarlo per 1.5 = 165 Hz, eccetera. Ciò che resta costante è il rapporto, non la differenza.
A questo punto punto abbiamo anche bisogna di una unità di misura degli intervalli, cioè una unità basata sui rapporti. Ovviamente è il più piccolo intervallo che usiamo, cioè il semitono, infatti le scale e gli intervalli sono definiti in termini di semitoni.
Volendo misurare una differenza minore di un semitono possiamo utilizzare il cent che equivale a 1/100 di semitono (1 semitono = 100 cent, 1/4 di tono = 50 cent).

La Percezione della Frequenza

Notate anche un'altra cosa. L'estensione di frequenze che va approssimativamente da 20 Hz fino a 4000 Hz copre circa i due terzi dell'estensione della membrana basilare (dai 12 ai 35 mm dalla base) su cui risiede l'organo del Corti. La rimanente porzione della scala di frequenze (4000 - 16000 Hz) è compressa nel rimanente terzo. Ne consegue che, in quest'ultima parte, composta da suoni che noi giudichiamo acutissimi, la percezione è più difficoltosa, meno sicura, in ogni caso meno precisa.
Ora, notate come il range di frequenze fra 20 e 4000 Hz corrisponde alle prime 7 ottave musicali, riconosciute come le più importanti in musica. Non a caso corrisponde esattamente all'estensione del pianoforte. Quindi, la nostra musica si è conformata alle capacità del nostro sistema percettivo (ovviamente).

Qual'è la minima differenza di frequenza che riusciamo a percepire? Anche qui la risposta è un po' più complessa di quanto si potrebbe pensare.
Innanzitutto dobbiamo distinguere due casi molto diversi: frequenze successive (l'una inizia dopo la fine dell'altra) e simultanee (suonano insieme).
Nota: nei testi inglesi la soglia di discriminazione della frequenza è chiamata JND (Just Noticeable Difference: minima differenza percepibile)

Frequenze successive

In questo caso la differenza minima non è fissa. Dipende da due cose:

• l'altezza: è più semplice accorgersi di una differenza in frequenza sopra i 1000 Hz che a frequenze più basse (questo perché, come vedremo, è la zona in cui l'orecchio funziona meglio)
• la dinamica: se il suono è ppp è più difficile notare la differenza rispetto a mf o superiore.

In figura vediamo le curve di discriminazione della frequenza per diverse ampiezze in db scritte vicino alla curva. La minima differenza percepibile è espressa come rapporto fra le due frequenze. Il fatto che le curve si alzino in corrispondenza delle frequenze sotto ai 1000 Hz significa che, per discrimare in questa zona, occorrono differenze maggiori.
Per esempio, a 1000 Hz, con dinamica 60 db (circa mf), viene percepita una differenza pari a circa lo 0.002, il che significa 2 Hz (1000 * 0.002 = 2). Quindi, avendo due suono successivi, il primo di 1000 Hz e l'altro almeno a 1002 o 998, si dovrebbe percepire la differenza. Con dinamica più bassa, per es. a 10 db (appena percettibile), la soglia sale a circa lo 0.006, cioè 6 Hz.
A frequenze più basse, le cose cambiano. A 100 Hz e 60 db serve circa lo 0.26 cioè 2.6 Hz di differenza. A 100 Hz e 10 db la differenza non è avvertibile.
Nel prossimo esempio audio potete sentire varie coppie di frequenze in cui la prima è sempre 1000 Hz mentre la seconda aumenta sempre di 1 Hz (1001, 1002, 1003, etc). Potete sperimentare quando riuscite a notare la differenza.

Avete fatto l'esperimento? Se siete riusciti a notare una differenza già alla prima coppia di frequenze siete dei mentitori perché sono uguali. Nella seconda, la differenza è 1 Hz, nella terza è 2 Hz e così via.

Frequenze simultanee

Nel caso di frequenze simultanee, la discriminazione richiede una differenza maggiore. La percezione simultanea di più frequenza investe vari argomenti come quello della banda critica, dei battimenti e dei suoni di combinazione, come il terzo suono.
Il problema è quello del potere di risoluzione dell'orecchio, cioè della capacità di distinguere due frequenze simultanee. Questa faccenda è complicata anche dalle varie interferenze che si formano nel liquido della chiocciola quando cominciano a circolare contemporaneamente onde diverse.
Per chiarire, vediamo prima un esempio relativo all'occhio. Nella figura qui sotto, varie linee bianche e nere diventano sempre più sottili. Quando le linee sono abbastanza grosse, si distinguono bene. Quando diventano più sottili si entra in una zona di incertezza. Alla fine, non si distinguono più e si vede una barra grigia, cioè la media fra bianco e nero.
Questo accade perché, ad un certo punto, le linee diventano così piccole che vanno a stimolare lo stesso gruppo di cellule sulla retina. Per questa ragione, l'occhio non riesce più a differenziarle. Accade la stessa cosa anche con il tatto: se non si guarda, due punture di spillo molto vicine sembrano nello stesso punto.
Come vedremo ora, nell'orecchio accade una cosa simile.

Introduciamo ora il concetto di Banda Critica che è molto importante perché determina sia la percezione di suoni simultanei (accordi) che quella del timbro.
Esso, inoltre, ha influenzato vari aspetti della pratica musicale, come vedremo.
Abbiamo visto che l'orecchio interno è un potente analizzatore in grado di distinguere le componenti di un suono. La sua capacità di discriminazione ha però dei limiti.
Le cellule dell'organo del Corti che interpretano le informazioni di frequenza, infatti, lavorano a gruppi di circa 1300, ognuno dei quali occupa fisicamente circa 1.3 mm di membrana basilare e copre, in frequenza, circa 1/3 di ottava.
Ognuno di tali gruppi costituisce una Banda Critica (Critical Band).
Quando due frequenze simultanee sono abbastanza vicine da stimolare lo stesso gruppo di cellule e quindi cadono entrambe entro la stessa banda critica, la loro distinzione diventa difficile, se non impossibile e dà luogo a vari fenomeni.
Questo esempio sonoro e la figura a fianco spiegano che cosa accade in pratica. Partiamo con due frequenze uguali e mentre una rimane fissa, l'altra si alza in glissando.

All'inizio non avrete la sensazione di due frequenze, ma di un solo suono. Via via che la seconda frequenza si allontana dalla prima, sentirete:

1. battimenti, che diventano più rapidi fino a
2. un suono aspro (rough), sempre senza distinguere le due frequenze (avrete sempre la sensazione di un unico suono).
3. Solo quando la loro differenza supererà una certa soglia di discriminazione (il limite di discriminazione di due frequenze simultanee, circa 15 Hz), inizierete a distinguere le due frequenze, pur permanendo la sensazione di suono aspro.
4. Quando, infine, verrà superata una seconda soglia pari al limite della banda critica, finirà la sensazione di asprezza.

Se ne deduce che

quando due suoni simultanei sono interni alla banda critica danno luogo a uno dei seguenti fenomeni:

battimenti

suono aspro

A questo punto è molto importante capire quanto è larga la banda critica. La figura sotto ci mostra che, nella maggior parte dello spettro sonoro, la sua estensione è un po' più di un tono e un po' meno di una 3a minore sia in più che in meno rispetto a una qualsiasi frequenza centrale. Ciò significa che, se prendiamo un LA come frequenza centrale, la banda critica andrà all'incirca dal SOL fino al SI.

L'intervallo coperto da una banda critica è circa 1/3 di ottava.

Intanto notate che il tono e quindi anche il semitono sono sempre dentro la banda critica. Questo spiega perché i bicordi di 2a mag. e min. danno sempre una sensazione aspra. Spiega anche perché nei "cluster" di semitoni e toni (cluster = accordo formato da varie note a distanza di semitono o tono) non si distinguono i singoli suoni, mantre invece si distinguono benissimo in un accordo di terze sovrapposte.

Ora vediamo un po' più in dettaglio alcuni fenomeni legati alla banda critica.
I battimenti possono essere di due tipi

Battimenti di prima specie (o primo ordine)

Un battimento di prima specie è provocato da due suoni con frequenze molto vicine, tali da non essere distinguibili, che quindi cadono entrambe dentro la stessa banda critica.
In acustica si dicono fenomeni di prima specie (o primo ordine) quelli provocati da suoni che cadono nella stessa banda critica.
È il tipico fenomeno che si sente quando uno o più strumenti si accordano su un unico suono (battimento fra le fondamentali). In questo caso, le due frequenze producono, all'interno della chiocciola, due onde che interferiscono fra loro e formano il battimento.
Il perché si formi è illustrato nella figura a fianco. Quando due onde di frequenza leggermente diversa (sopra) iniziano, hanno probabilmente la stessa fase, cioè si trovano entrambe nello stesso punto del ciclo.
In tal caso si rinforzano l'una con l'altra (si sommano) e il suono risultante (sotto) avrà una ampiezza pari alla loro somma. Però, dato che una frequenza è leggermente più alta dell'alta, il suo ciclo andrà più veloce, quindi, dopo un po', le due onde saranno sfasate e a un certo punto saranno in controfase, cioè il ciclo dell'una è nella parte alta mentre quello dell'altra è nella parte bassa.
In questo caso, le due onde si annullano (si sommano algebricamente, cioè si sottraggono) e il suono risultante sarà molto debole.
Il battimento, quindi, è una alternanza di fasi di rinforzo e annullamento fra due onde di cui il prossimo suono è l'esempio classico:

La frequenza del battimento, cioè la sua velocità, è determinata dalla differenza in frequenza fra le due onde, mentre la frequenza del suono effettivamente sentito è la loro media. Per esempio, se mettiamo insieme un LA a 220 Hz e un LA a 222 Hz, sentiremo un LA a 221 Hz (la media: (220+222)/2) con un battimento a 2 Hz (che si ripete 2 volte al secondo).
La figura sotto mostra le onde sovrapposte: in blu e giallo le onde che creano il battimento, in rosso l'onda risultante dalla loro somma algebrica.
Il battimento di prima specie è un fenomeno acustico e psicoacustico che si può creare sia in aria, quando le onde provengono dallo stesso punto, che nella chiocciola per interferenze fra le onde che si creano nel liquido in essa contenuto.

Battimenti di seconda specie (o secondo ordine)

Ma, anche se sembra strano, si possono avere battimenti anche fra onde fra loro lontane in frequenza. Sono i battimenti di seconda specie che hanno origine neurologica, cioè sono provocati dalla elaborazione del suono effettuata nel cervello.
In acustica si dicono fenomeni di seconda specie (o secondo ordine) quelli provocati da suoni che non cadono nella stessa banda critica per cui la loro origine non può essere attribuita a interferenze nella chiocciola.
Ascoltate questo esempio in cui un battimento, seppure leggero, si sente chiaramente. Le due frequenze sono di 220 e 445 Hz (8va leggermente stonata):
Ascoltate ora questo esempio di battimento binaurale, così chiamato perché il suono è stereo e le onde che creano il battimento stanno una sul canale destro e l'altra sul sinistro. Il punto è che questo battimento SI SENTE ANCHE IN CUFFIA quando le onde non hanno alcun modo di interagire se non nel cervello:
In musica questo tipo di battimento si ha quando a interagire sono, per es., la fondamentale e gli armonici.

Battimenti in musica

In musica, difficilmente esistono onde senza armonici, quindi si hanno battimenti complessi, contemporaneamente di prima e seconda specie. Ascoltate questo esempio in cui abbiamo 3 suoni che illustrano vari casi in cui ascoltiamo insieme i battimenti di 1a specie fra le fondamentali e fra gli armonici uguali e di 2a specie fra fondamentali e armoniche in 8va:
Si sente nettamente che vi sono vari battimenti insieme. Nella figura seguente potete anche vedere le onde e rendervi conto della maggiore complessità.

Toni di combinazione

Un altro effetto delle interferenze fra onde è quello dei cosiddetti toni di combinazione, fra cui il più famoso è il terzo suono di Tartini (che è anche quello che si sente più facilmente). Si tratta di suoni in reltà non esistenti, prodotti da varie combinazioni di differenza fra le frequenze dei due suoni generatori o fra le loro ottave.
Devo avvertirvi che i toni di combinazione sono un argomento controverso. Se da un lato è evidente che, in certe condizioni, si sentono, non tutti gli studiosi sono d'accordo sia sulla loro origine (cervello o chiocciola) sia sulle condizioni migliori per sentirli.
Il dato di fatto è che anche il terzo suono (il più facile) non è sentito da tutti e non si sente sempre. Si può sentire, per es., su un pianforte e non su un altro oppure, nel caso di registrazioni, con delle casse ma non con altre e spesso anche la distanza dalle casse o dagli strumentisti è importante. Quindi non preoccupatevi se non li sentite. Chiaramente, il violinista che ha lo strumento a 10 cm dalla testa, con tutte le onde che arrivano al suo orecchio sinistro, è nella condizione migliore per sentirli (non a caso se ne è accorto Tartini).

Il terzo suono

Il terzo suono di Tartini corrisponde alla differenza fra le frequenze generatrici: un LA a 440 Hz e un MI 660 Hz, quindi, producono un LA 220 Hz cioè l'8va sotto (660 - 440 = 220).
In questo esempio è proprio così:

Si sentono le due frequenze generatrici a 440 e 660, prima staccate e poi unite. Quando suonano insieme si avverte la presenza del LA 220 (terzo suono) che poi è ripetuto da solo come controprova. Qui nel mio studio con i miei altoparlanti si sente l'8va sotto, sia pure debolmente. D'altra parte tonica e dominante insieme hanno quella forza anche perché spesso si crea l'8va inferiore.
Questo sistema è utilizzato anche nella costruzione degli organi per creare un DO basso per cui sarebbe necessaria una canna troppo lunga. A volte, al posto di questa canna se ne mettono due, una al DO 8va sopra e una al SOL 12ma. Come nell'esempio appena sentito, esse creano il DO basso.

Lo specchio completo dei possibili toni di combinazione, però, non si esaurisce con il terzo suono. Oltre a quest'ultimo, che è la differenza semplice fra le frequenze generatrici (f₂ - f₁), in teoria è possibile sentire anche un suono di frequenza pari a (2f₁ - f₂) e un altro pari a (3f₁ - 2f₂). Bisogna però provare con coppie di frequenze diverse da tonica e 5a perché in questo caso due toni di combinazione coincidono e il terzo è zero. Infatti abbiamo:
660 - 440 = 220
2*440 - 660 = 220
3*440 - 2*660 = 0
In tutta sincerità, l'unico che sono certo di aver sentito è il terzo suono. Gli altri... forse.
Comunque nell'esempio audio seguente si sentono due frequenze di cui una è fissa, mentre l'altra glissa fino all'8va sopra (in rosso in figura).
Ascoltandolo con un buon impianto, dopo i battimenti si sente un suono basso che glissa verso l'alto:

È il terzo suono (in figura è chiamato Difference Tone). Se qualcuno sente anche gli altri toni di combinazione visibili in figura, me lo faccia sapere.

La percezione delle altezze

Finiamo questo lungo capitolo con alcune considerazioni sui legami fra l'altezza e gli altri parametri del suono.
La durata ha una certa influenza sull'altezza in quanto diventa difficile giudicare l'altezza se il suono è di durata molto breve ed è impossibile farlo se la durata è inferiore a 1/100 di secondo. Questo perché il cervello ha bisogno di una durata minima per elaborare il segnale.
In questo esempio sentite un suono molto breve, la cui durata si accorcia ancora:

Sentirete chiaramente che a un certo punto non c'è più alcuna altezza e il suono diventa un toc indistinto.
Anche la dinamica ha una certa influenza sul suono. Vari esperimenti indicano che l'altezza stimata cambia un po' se il suono è più o meno meno forte. Anche questa è una questione controversa.
In questo esempio invece il bicordo sembra cambiare un po':

Infine, una questione non controversa è che la sensazione di 8va si espande andando sui suoni molto acuti e si stringe in quelli molto gravi. Nella figura seguente si vede lo schema dell'accordatura di un piano da concerto effettuata da due diversi accordatori. Dove la linea coincide lo lo zero, è stato rispettato il sistema temperato. Dove sale, gli intervalli sono espansi, mentre dove scende, sono ristretti.
La misura della deviazione è in cents, per cui si tratta di deviazioni piccole; nella parte alta l'espansione massima supera di poco i 30 cents, mentre in quella bassa, arriva anche a 60 cents (più di 1/4 di tono).